A csipke, mint fraktál-geometria
W. Sierpinski, a század elejének nagy lengyel matematikusa névadója a "csipkének", melynek konstrukciója látható itt. Egy háromszöget négy kisebbre háromszögre osztunk, és eldobjuk a középsőt. A megmaradó hárommal megismételjük az eljárást, és így tovább. Végezetül fraktálhoz jutunk, a Sierpinski-csipke szépen mutatja a fraktálok jellegzetes szimmetriaelemét, az önhasonlóságot.
Akkor mondjuk, hogy egy objektum önhasonló, ha véges számú kicsinyített másával kirakható, pontosan lefedhető. Önhasonló egy szakasz, egy négyzet, egy háromszög vagy egy téglatest; önhasonló, de nem fraktál. Nem önhasonló ugyanakkor például egy kör: véges sok kis körből nem tudunk nagy kört csinálni. Ha egy háromszöget a felére kicsinyítünk, négy kis háromszögből pontosan kirakhatjuk az eredetit; ha a kicsinyítési arány 1/4, ugyanehhez tizenhat kis háromszögre lesz szükségünk: a lefedéshez szükséges idomok száma tehát négyzetesen nő, azaz a kicsinyítési arány reciprokának második hatványával arányos. Ha a lefedési kísérletet háromszög helyett egy szakasszal ismételjük meg, a kis szakaszok száma csak az első hatvány szerint növekszik: harmadakkora szakaszból három, kilencedakkorából kilenc kell. Négyzet lefedésénél a kis idomok száma a méret négyzetével, kockánál a méret köbével (azaz harmadik hatványával) szaporodik. A hatványkitevőben talált számot dimenziónak is tekinthetjük, és fogalmazhatunk úgy, hogy a szakasz dimenziója 1, a négyzeté 2, a kockáé pedig 3, azaz egész számok.
A Sierpinski-csipke bonyolultabb az egyszerű háromszögnél, amelyből készítettük. Ha a felére kicsinyítjük, három kis csipkéből rakhatjuk össze a nagyot, ha a negyedére, akkor kilencből. A lefedéshez használt idomok száma gyorsabban nő, mint az egydimenziós vonal, de lassabban, mint a kétdimenziós síkidom esetén. Azt mondjuk, hogy a csipke dimenziója egy és kettő közé eső törtszám. A Sierpinski-csipke "több", mint vonal (hiszen a hossza végtelen), de "kevesebb", mint síkidom (a területe zérus). A csipke fraktáldimenziójának közelítő értéke 1,58496. Majdnem minden fraktálra igaz, hogy dimenziója nem egész, hanem tört szám.
A fraktálok -mint a fenti "csipke" is- dilatációs szimmetriát mutatnak: önhasonlók. Ha egy dilatációs szimmetriával rendelkező tárgy képét látjuk, nem tudjuk eldönteni, hogy a felvétel milyen nagyításban készült, mert minden nagyításban körülbelül ugyanazt látjuk. Ha a kép egyes részeit kinagyítjuk, újabb és újabb, az eredetihez hasonló részletek tűnnek elő (klasszikus példa erre a közismert Mandelbrot-halmaz). Matematikailag konstruált fraktálnál a nagyítás vég nélkül folytatható: a halmaz belsejének világa végtelen, és minden léptékváltásnál hasonló struktúra ismétlődik.
Mandelbrot -lengyel származású francia matematikus- érdeme volt, hogy észrevette: rengeteg természeti objektum mutat fraktális tulajdonságokat. A felsorolás távolról sem teljes: felhő hegy, fa, hópehely, tüdő, érrendszer, ... "fraktálok mindenütt", ahogy egy tankönyv címe fogalmaz. A fraktális szimmetriához tehát "szokva van" szemünk - akkor is, ha ennek nem voltunk tudatában. Balra igazi páfrány fotója, jobbra pedig egy fraktálgeneráló algoritmus műve.
Nemcsak a természetben találunk fraktálokat. A cikk alján látható mozaiklap Anagni templomából való (épült 1104-ben, nyolcszáz évvel Sierpinski cikkének megjelenése előtt)